欧几里得空间的推广#

在《机器学习数学基础》第 1 章介绍了向量空间,并且说明了机器学习问题通常是在欧几里得空间。然而,随着机器学习技术的发展,特别是 AI 技术开始应用于科学研究中,必然会涉及到其他类型的空间。本文即在《机器学习数学基础》一书所讲解的内容基础之上,简要介绍希尔伯特空间、函数空间的有关概念。

希尔伯特空间#

在数学裡,希尔伯特空间(英语:Hilbert space)即完备的内积空间,也就是一个带有内积完备向量空间。

例如 \(\mathbb{R}^\infty\) 中的向量 \(\pmb{v}\) 含有无限多个分量,即:

\[\begin{split} \pmb{v}=\begin{bmatrix}v_1\\v_2\\\vdots\end{bmatrix} \end{split}\]

若要使得以下定义依然成立:

\[ \begin{Vmatrix}\pmb{v}\end{Vmatrix}^2=v_1^2+v_2^2+\cdots \]

则上述无穷级数应该收敛至一个有限数值,例如:\(\pmb{v}=\begin{bmatrix}1\\1/2\\1/3\\\vdots\end{bmatrix}\)

这样,向量的长度是有限的,对于空间中有限长度的向量 \(\pmb{x}\)\(\pmb{y}\) ,则还会有:\(\begin{Vmatrix}\pmb{x}+\pmb{y}\end{Vmatrix}\le\begin{Vmatrix}\pmb{x}\end{Vmatrix}+\begin{Vmatrix}\pmb{y}\end{Vmatrix}\)

\(a\pmb{x}\) (其中 \(a\) 是一个有限的标量)仍然是一个有限量。

由此容易证明向量空间的 8 条法则依然成立(《机器学习数学基础》第15页)。

这样的空间,就是希尔伯特空间,是一个保持一般几何性质的无限维向量空间。

希尔伯特空间是有限维欧几里得空间的一个推广,使之不局限于实数的情形和有限的维数,但又不失完备性(不像一般的非欧几里得空间那样破坏了完备性)。与欧几里得空间相仿,希尔伯特空间也是一个内积空间,其上有距离和角的概念(及由此引申而来的正交性与垂直性的概念)。此外,希尔伯特空间还是一个完备的空间。

微积分中的大部分概念都可以无障碍地推广到希尔伯特空间中。

希尔伯特空间以大卫·希尔伯特的名字命名,他在对积分方程的研究中研究了希尔伯特空间。冯·诺伊曼在其 1929 年出版的关于无界自伴算子的著作中,最早使用了“希尔伯特空间”这个名词。

一个抽象的希尔伯特空间中的元素往往被称为向量。在实际应用中,它可能代表了一列复数或是一个函数。

例如在量子力学中,一个物理系统可以表示为一个复希尔伯特空间,其中的向量是描述系统可能状态的波函数。

函数空间#

设正弦函数 \(f(x)=\sin(x)\) ,定义域为 \(0\le x\le2\pi\) ,视此函数为无限维向量,向量的各个分量即为连续区间内的函数值 \(\sin(x)\) 。当向量的分量是连续时,其平方和可写成积分形式(即 \(f\) 的长度平方):

\[ \begin{Vmatrix}f\end{Vmatrix}^2=\int_0^{2\pi}(f(x))^2dx=\int_0^{2\pi}(\sin x)^2dx=\pi \]

上式说明,我们可以测量函数的长度,即可以将此函数看做向量,从而形成了向量空间,此向量空间的维数无限,显然是希尔伯特空间,也就是一个函数空间。

如果 \(f(x)=\sin(x), g(x)=\cos(x)\) ,计算内积:

\[ \langle f, g\rangle=\int_0^{2\pi}f(x)g(x)dx=\int_0^{2\pi}\sin(x)\cos(x)dx=0 \]

故正弦和余弦正交。

线性函数#

设函数 \(f\) 是:\(f:V\to W\) ,对于任意向量 \(\pmb{x}\)\(\pmb{y}\) ,以及任意实数 \(c\) ,若满足:

\[\begin{split} \begin{split}f(\pmb{x}+\pmb{y})&=f(\pmb{x})+f(\pmb{y})\\f(c\pmb{x})&=cf(\pmb{x})\end{split} \end{split}\]

\(f\) 是线性函数。

  • 几何向量空间

    \(\pmb{A}\)\(m\times n\) 阶实矩阵,\(\pmb{x}\in\mathbb{R}^n\)\(f(\pmb{x})=\pmb{Ax}\) 是一个由 \(\mathbb{R}^n\) 映至 \(\mathbb{R}^m\) 的线性函数,则:

    \[\begin{split} \begin{split}f(\pmb{x}+\pmb{y})&=\pmb{A}(\pmb{x}+\pmb{y})=\pmb{Ax}+\pmb{Ay}=f(\pmb{x})+f(\pmb{y})\\f(c\pmb{x})&=\pmb{A}(c\pmb{x})=c(\pmb{Ax})=cf(\pmb{x})\end{split} \end{split}\]
  • 多项式空间

    \(\mathcal{P}\) 为所有多項式形成的向量空间,微分算子 \(D=d/dx\) 可視為由 \(\mathcal{P}\) 映至 \(\mathcal{P}\) 的函数,例如,\(D(2-x+x^3)=-1+3x^2\)。微分算子 \(D\) 是一个线性函数,利用导数基本性质,可知:

    \[\begin{split} \begin{aligned} D(p(x)+q(x))&=D(p(x))+D(q(x))\\ D(cp(x))&=cD(p(x))\end{aligned} \end{split}\]

    求二次导数,记作:\(DD=D^2\) ,易知 \(D^2p= p''\) 是线性函数,推广至更高次冪,\(D,D^2,\ldots,D^k\) 全部都是线性函数。

  • 连续函数空间

    \(C(-\infty,\infty)\) 表示所有连续函数形成的空间,\(L:C(-\infty,\infty)\rightarrow C(-\infty,\infty)\) ,函数 \(u(x), q(x)\in C(-\infty,\infty)\) ,考虑以下的例子:

    \(L(u(x))=q(x)u(x)\) ,则 \(L\) 是线性函数。

    证明:

    \[\begin{split} \begin{aligned} L(u(x)+v(x))&=q(x)(u(x)+v(x))=L(u(x))+L(v(x))\\ L(cu(x))&=q(x)(cu(x))=c(q(x)u(x))=cL(u(x))\end{aligned} \end{split}\]

    將微分算子 \(D\) 线性函数 \(L\) 结合成一个方程式便得到微分方程 \(D(u(x))=L(u(x))=q(x)u(x)\)

    例如,设 \(y=u(x)\)\(q(x)=x\) ,就有 \(Dy=xy\) 或写成:\(y'=xy\) 。求解微分方程等于找 \(y\) 使得 \(Dy=Ly\),由此可以逐步建立微分方程与线性代数的关联。

零空间#

\(f:V\to W\) 是一个线性函数,所有满足 \(f(\pmb{x})=\pmb{0}\)\(\pmb{x}\) 所形成的集合构成 \(V\) 里的一个子空间,称为零空间或核\(^{[2]}\),记作 \(N(f)\)\(\text{ker}f\)

\(\pmb{u},\pmb{v}\in N(f)\) ,根据线性函数的基本性质,有:

\[\begin{split} \begin{aligned} f(\pmb{u}+\pmb{v})&=f(\pmb{u})+f(\pmb{v})=\pmb{0}+\pmb{0}=\pmb{0}\\ f(c\pmb{u})&=cf(\pmb{u})=c\pmb{0}=\pmb{0}\end{aligned} \end{split}\]

这说明 \(N(f)\) 满足向量加法和数量乘法封闭原则,所以 \(N(f)\)\(V\) 的子空间。

\(f(\pmb{x})=\pmb{0}\) 称为齐次方程(homogeneouos equation)。齐次现象方程至少有一个零解,\(f(\pmb{0})=\pmb{0}\) ,也就是说零空间 \(N(f)\) 必定包含零向量。

理由如下:

\(f(\pmb{0})=f(\pmb{x}-\pmb{x})=f(\pmb{x})-f(\pmb{x})=\pmb{0}\) ,或者 \(f(\pmb{0})=f(0\pmb{x})=0\cdot f(\pmb{x})=\pmb{0}\)

  • 齐次线性方程组

\[\begin{split} \begin{aligned} x+y-z&=0\\ x-y+z&=0\end{aligned} \end{split}\]

或改写为矩阵形式:

\[\begin{split} f(\mathbf{x})=A\mathbf{x}=\left[\!\!\begin{array}{crr} 1&1&-1\\ 1&-1&1 \end{array}\!\!\right]\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix} \end{split}\]

利用高斯消元法,得:\((x,y,z)=t(0,1,1)\)\(t\) 为任意实数,所以,\(A\) 的零空間由向量 \(\begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 1 \end{bmatrix}\) 张成,零空間 \(N(f)\) 与其表示矩阵 \(A\) 的零空間 \(N(A)\) 指的是同一回事。

  • 微分算子

微分算子 \(D=d/dx\) 作用在 \(C(-\infty,\infty)\)\(D\) 的零空间包含所有一次导数为零的实函数,由导数性质可知 \(N(D)\) 是一个包含所有常函数 \(y(x)=c\) 的子空间。

  • 齐次微分方程

对于下面的齐次微分方程:

\[ y''-3y'+2y=0 \]

也可以用微分算子表示为:\((D^2-3D+2)y=0\)

线性算子的线性组合仍为线性算子,故:\(L=D^2-3D+2\) 也是线性。

求解齐次微分方程 \(Ly=0\) ,即相当于计算 \(L\) 的零空间。

线性算子 \(L\) 的零空间由线性无关的函数 \(e^x\)\(e^{2x}\) 张成,\(e^x\)\(e^{2x}\) 是零空间 \(N(L)\) 的基底函数,故齐次解为其线性組合 \(y=c_1e^x+c_2e^{2x}\) 。从线性函数的角度,齐次解必定落在 \(L\) 的零空间内,亦即

\[ Ly=l(c_1e^x+c_2e^{2x})=c_1L(e^x)+c_2L(e^{2x})=c_10+c_20=0 \]

特征值与特征向量#

假设一种线性变换 \(L:V\rightarrow V\) ,还有向量 \(\pmb{x}\in V\) ,通常 \(\pmb{x}\)\(L(\pmb{x})\) 之间没有什么特别的关系,但是,在某个条件下,会有如下关系:

\[ L(\pmb{x})=\lambda\pmb{x} \]

这就是特征向量 \(\pmb{x}\) 和特征值 \(\lambda\)

注意:零向量不是特征向量。这是因为,对于任意线性变换而言,任何 \(\lambda\) 都会满足\(L(\pmb{0})=\lambda\cdot\pmb{0}=\pmb{0}\)

如果特征值为零,则只要存在 \(\pmb{x}\neq\pmb{0}\) 满足\(L(\pmb{x})=0\pmb{x}=\pmb{0}\) 就行。显然,若线性变换 \(L\) 有零特征值,则 \(L\) 的零空间必定包含非零向量。

  • 矩阵变换

\(L:\pmb{R}^n\rightarrow\pmb{R}^n\) 为线性变换,以矩陣表示为:\(L(\pmb{x})=A\pmb{x}\)

例如:\(A=\begin{bmatrix} 1&4\\ 2&8 \end{bmatrix}\)

容易解出其特征值 \(\lambda=0, 9\) ,特征向量分别为:\(\begin{bmatrix} 4\\-1 \end{bmatrix}\)\(\begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix}\)

注意,其次方程 \(A\pmb{x}=\pmb{0}\) 对应 \(\lambda=0\) ,故特征向量 \(\begin{bmatrix} 4\\-1 \end{bmatrix}\) 张成 \(A\) 的零空间。

  • 微分算子

假设以下微分算式:

\[ De^{x}=e^{x}, De^{2x}=2e^{2x}, De^{-3x}=-3e^{-3x} \]

函数 \(e^{x}, e^{2x},e^{-3x}\) 是微分算子 \(D\) 的特征向量,对应特征值分别为 \(1,2,-3\)

推广:\(r\) 是任意数,\(D^ke^{rx}=r^ke^{rx}\) ,则 \(e^{rx}\)\(D^k\) 的特征向量,对应的特征值为 \(r^k\)

  • 齐次微分方程

考虑一个常系数齐次微分方程(前面用过的):\(y''-3y'+2y=0\)

若有 \(L=D^2-3D+2\) ,则可以写为:\(Ly=(D^2-3D+2)y=0\)

如前所述,求齐次微分方程的解,就等于计算 \(L\) 的零空间,也就是找出特征值为 \(\lambda=0\) 的特征向量,如下:

\[ Le^{rx}=(r^2-3r+2)e^{rx}=0 \]

因为 \(e^{rx}\ne0\) ,则必有 \(\lambda=r^2-3r+2=0\) ,则 \(r=1,2\) ,特征向量为 \(e^x, e^{2x}\) ,所对应的特征值均为 \(0\)

故:求解齊次微分方程的本質就是問線性算子 \(L\) 的哪些特徵向量對應零特徵值\(^{[1]}\)

非齐次方程#

\(f:V\to W\) 是一个线性函数,对应的非齐次方程:\(f(\pmb{x})=\pmb{b}\)

下面证明叠加原理:若 \(\pmb{x}_p\) 是上述非齐次方程的一个特解(particular solution),\(\pmb{x}_h\) 是齐次方程 \(f(\pmb{x})\) 的一个解(称为齐次解),则 \(\pmb{x}_p+\pmb{x}_h\) 是非齐次方程的通解(或一般解,general solution)。

证明:

因为 \(\pmb{x}_p\) 是一个特解,则 \(f(\pmb{x}_p)=\pmb{b}\)

又因为 \(f\) 是线性函数,所以:\(f(\pmb{x}-\pmb{x}_p)=f(\pmb{x})-f(\pmb{x}_p)=\pmb{b}-\pmb{b}=\pmb{0}\)

\(\pmb{x}-\pmb{x}_p\) 是齐次解,即 \(\pmb{x}-\pmb{x}_p=\pmb{x}_h\)\(\pmb{x}_h\) 是零空间中的一个向量,故 \(\pmb{x}=\pmb{x}_p+\pmb{x}_h\) 是通解。

  • 非齐次线性方程组

以下述非齐次线性方程组为例:

\[\begin{split} \begin{cases}x+y-z=2\\x-y+z=4\end{cases} \end{split}\]

其一个特解:\(x=3,y=1,z=2\) ,前面已经计算过对应的齐次线性方程组的解:\((x,y,z)=t(0,1,1)\) ,其中 \(t\) 是任意实数。故此非齐次线性方程组的通解是:\((x,y,z)=(3,1,2)+t(0,1,1)\)

  • 常系数微分方程

以下面的非齐次微分方程为例:\(y''-3y'+2y=e^x\)

用微分算子表示为:\(Ly=(D^2-3D+2)y=e^x\)

用待定系数法求出一个特解:

\[ \because\quad(D-1)e^x=0 \]

对于任何解 \(y(x)\) ,有:

\[ (D-1)(D^2-3D+2)y=(D-1)^2(D-2)y=0 \]

根据齐次微分方程的求解,\(y(x)\) 的形式必为:

\[ y(x)=c_1e^x+c_2e^{2x}+c_3xe^x \]

显然,前两项是齐次解,\(y_h(x)=c_2e^x+c_2e^{2x}\) 。设 \(y_p(x)=c_3xe^x\) ,计算:

\[\begin{split} \begin{split}y'_p(x)&=c_3(xe^x+e^x)\\y''_p(x)&=c_3(xe^x+2e^x)\end{split} \end{split}\]

代入到非齐次微分方程中,得:

\[ c_3(xe^x+2e^x)-3c_3(xe^x+e^x)+2c_3(xe^x)=e^x \]
\[ c_3=-1 \]

得到特解:\(y_p=-xe^x\)

故通解为:\(y(x)=c_1e^x+c_2e^{2x}-xe^x\)

参考资料#

[1]. 线代启示录:从几何向量空间到函数空间

[2]. 线性代数基本定理