关于自然常数
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关于自然常数#
自然常数 \(e=2.718 28 \cdots\) 在数学、自然科学中都是一个非常重要的常数。用级数表示为:
极限证明#
求证 \(e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \tag{1}\)
证明
设 \(e_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\) ,根据二项式定理,可得:
令 \(a_{n,k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!}\frac{1}{n^k}\)
即 \(e_n=1+\sum_{k=1}^na_{n,k}\)
因为 \(a_{n,k}=\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)\)
所以:
即 \(\{e_n\}\) 是单调递增数列,且 \(\lim_{n\to\infty}e_n\le e\) 。
又因为 \(\lim_{n\to\infty}a_{n,k}=\frac{1}{k!}\) ,对任意 \(m\) ,有:
因此,\(\lim_{n\to\infty}e_n\ge 1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k!}=e\) ,所以:
\(\lim_{n\to\infty}e_n=e\) ,即 \(e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\) 成立
证毕。
指数函数 \(e^x\)#
指数函数 \(e^x\) 是一个重要函数,表示为
证明
首先证明:
根据(1)式,对于 \(t\) ,取满足 \(n\le t \lt n+1\) 的自然数 \(n\) ,则:
当 \(t\to+\infty\) 时,\(n\to+\infty\) ,并且 \(\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\left(1+\frac{1}{n}\right)=e\)
同理,\(\lim{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n=e\)
所以(3)式成立。
再证明:
设 \(\frac{1}{1-\frac{1}{t}}=1+\frac{1}{s}\) ,则 \(s=t-1\) 。当 \(t\to+\infty\) 时,\(s\to+\infty\) ,得:
所以(4)式成立
当 \(x\gt0\) 时,令 \(s=tx\) ,
当 \(x\lt0\) 时,令 \(x=-y, s=ty\) ,则 \(\frac{1}{t}=\frac{y}{s}\) ,
所以(2)式成立。
证毕。
根据 \(\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}\) (见 [1] 的56页)和(2)式,可得:
如果以自然常数 \(e\) 作为对数的底,即 \(\log_ex\) ,称为自然对数,一般记作 \(\ln x\) ,\(\ln x\) 是 \(x\) 的单调递增函数。
对数函数的导数#
设对数函数 \(\log_ax,(a\ne1)\) ,定义域是 \((0,+\infty)\) 。
令 \(s=\frac{h}{x}\) ,则上式变化为:
根据(1)式,可得:\(e=\lim_{s\to0}\log_a(1+s)^{1/s}\) 。结合 \(\log_ax\) 的连续性,可得:
即
对于自然对数,\(a=e\) ,则:
参考文献#
微积分入门(I)一元微积分. [日]小平邦彦. 北京:人民邮电出版社,2008.4.第1版