关于自然常数

自然常数 \(e=2.718 28 \cdots\) 在数学、自然科学中都是一个非常重要的常数。用级数表示为：

\[ e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\tag{1} \]

极限证明

求证 \(e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \tag{1}\)

证明

设 \(e_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\) ，根据二项式定理，可得：

\[e_n=1+\frac{n}{1!}\frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{2!}\frac{1}{n^2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\frac{1}{n^3}+\cdots+\frac{1}{n^n}\]

令 \(a_{n,k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!}\frac{1}{n^k}\)

即 \(e_n=1+\sum_{k=1}^na_{n,k}\)

因为 \(a_{n,k}=\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)\)

\[a_{n,k}\lt{a_{n+1,k}}\lt\frac{1}{k!}\]

所以：

\[e_n\lt{e_{n+1}}\lt 1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k!}=e\]

即 \(\{e_n\}\) 是单调递增数列，且 \(\lim_{n\to\infty}e_n\le e\) 。

又因为 \(\lim_{n\to\infty}a_{n,k}=\frac{1}{k!}\) ，对任意 \(m\) ，有：

\[\lim_{n\to\infty}e_n\ge\lim_{n\to\infty}\left(1+\sum_{k=1}^ma_{n,k}\right)=1+\sum_{k=1}^m\frac{1}{k!}\]

因此，\(\lim_{n\to\infty}e_n\ge 1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k!}=e\) ，所以：

\(\lim_{n\to\infty}e_n=e\) ，即 \(e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\) 成立

证毕。

指数函数 \(e^x\)

指数函数 \(e^x\) 是一个重要函数，表示为

\[ e^x=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n \tag{2} \]

证明

首先证明：

\[ e=\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^t \tag{3} \]

根据（1）式，对于 \(t\) ，取满足 \(n\le t \lt n+1\) 的自然数 \(n\) ，则：

\[\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n\lt\left(1+\frac{1}{t}\right)^t\lt\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}\]

当 \(t\to+\infty\) 时，\(n\to+\infty\) ，并且 \(\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\left(1+\frac{1}{n}\right)=e\)

同理，\(\lim{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n=e\)

所以（3）式成立。

再证明：

\[ e=\lim_{n\to+\infty}\left(1-\frac{1}{t}\right)^{-t} \tag{4} \]

设 \(\frac{1}{1-\frac{1}{t}}=1+\frac{1}{s}\) ，则 \(s=t-1\) 。当 \(t\to+\infty\) 时，\(s\to+\infty\) ，得：

\[ \lim_{n\to+\infty}\left(1-\frac{1}{t}\right)^{-t}=\lim_{s\to+\infty}\left(1+\frac{1}{s}\right)^{s+1}=e \]

所以（4）式成立

当 \(x\gt0\) 时，令 \(s=tx\) ，

\[e^x=\lim_{t\to+\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^{tx}=\lim_{s\to+\infty}\left(1+\frac{x}{s}\right)^s=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\]

当 \(x\lt0\) 时，令 \(x=-y, s=ty\) ，则 \(\frac{1}{t}=\frac{y}{s}\) ，

\[e^x=\lim_{t\to+\infty}\left(1-\frac{1}{t}\right)^{-tx}=\lim_{s\to+\infty}\left(1-\frac{y}{s}\right)^s=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\]

所以（2）式成立。

证毕。

根据 \(\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}\) （见 [1] 的56页）和（2）式，可得：

\[e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} \tag{5}\]

如果以自然常数 \(e\) 作为对数的底，即 \(\log_ex\) ，称为自然对数，一般记作 \(\ln x\) ，\(\ln x\) 是 \(x\) 的单调递增函数。

对数函数的导数

设对数函数 \(\log_ax,(a\ne1)\) ，定义域是 \((0,+\infty)\) 。

\[\frac{1}{h}(\log_a(x+h)-\log_ax)=\frac{1}{h}\log_a\left(\frac{x+h}{x}\right)=\log_a\left(\frac{x+h}{x}\right)^{1/h}\]

令 \(s=\frac{h}{x}\) ，则上式变化为：

\[\frac{1}{h}(\log_a(x+h)-\log_ax)=\log_a(1+s)^{\frac{1}{sx}}=\frac{1}{x}\log_a(1+s)^{\frac{1}{s}}\]

根据（1）式，可得：\(e=\lim_{s\to0}\log_a(1+s)^{1/s}\) 。结合 \(\log_ax\) 的连续性，可得：

\[\lim_{h\to0}\frac{1}{h}(\log_a(x+h)-\log_ax)=\frac{1}{x}\lim_{s\to0}\log_a(1+s)^{\frac{1}{s}}=\frac{1}{x}\log_ae\]

即

\[\frac{d}{dx}\log_ax=(\log_ae)\frac{1}{x} \tag{6}\]

对于自然对数，\(a=e\) ，则：

\[\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x} \tag{7}\]

参考文献

1. 微积分入门(I)一元微积分. [日]小平邦彦. 北京：人民邮电出版社，2008.4.第1版