极限和连续
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极限和连续#
在一切理論成果中,未必再有什麼像 17 世紀後半葉微積分的發明那樣被看作人類精神的最高勝利了。只有微積分學才能使自然科學有可能用數學來不僅僅表 明狀態,並且也能表明過程。
——恩格斯
变化率和曲线的切线#
伟大的物理学家伽利略(Galileo Galilei)发现了自由落体运动的规律——传说他在比萨斜塔上做了“两个铁球同时落地”的实验。这个故事是他的学生记载的,其真实性,还有争议。但是,不论他是否真的做过那个实验,都不影响伽利略首先正确地研究出自由落体运动规律这个事实。
如果用现代物理学的方式表示,自由落体运动的规律是:
其中 \(g\) 表示重力加速度,\(t\) 表示物体下落时间。如果 \(g=9.8m/s^2\) ,则上面的表达式可以写成:
假设某时刻 \(t_0\) ,下一个时刻为 \(t_0+h\) ,要考察在时间间隔 \(\Delta{t}=(t_0+h)-t_0=h\) 内物体运动的平均速度,即:
如果 \(t_0=1\) ,则上式为: $\( \frac{\Delta{y}}{\Delta{t}}=\frac{4.9(1+h)^2-4.9(1)^2}{h}=9.8 + 4.9h \)$
当 \(h\) 很小——你说多小,比你说的还小,或者说 \(h\to{0}\) 时,\(\frac{\Delta{y}}{\Delta{t}}\to{9.8}\) 。
如果 \(t_0=2\) ,则: $\( \frac{\Delta{y}}{\Delta{t}}=\frac{4.9(2+h)^2-4.9(2)^2}{h}=19.6+4.9h \)$
同样,当 \(h\to{0}\) 时,\(\frac{\Delta{y}}{\Delta{t}}\to{19.6}\)
如果将上面的计算抽象为数学问题,即为:
对于函数 \(y=f(x)\) ,\(x\) 在区间 \([x_1, x_2]\) 内:
\[ > \frac{\Delta{y}}{\Delta{x}} = \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{f(x_1+h)-f(x_1)}{h} > \]其中,\(h\ne{0}\) ,且 \(x_2=x_1+h\) 。称 \(\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}\) 为 \(y=f(x)\) 在区间 \([x_1, x_2]\) 上的变化率。
如下图所示,区间 \([x_1, x_2]\) 对应的坐标系中的两个点 \(P,Q\) ,过这两个点的直线斜率即为 \(\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}\) 。这条直线是 \(y=f(x)\) 曲线的割线。根据图示,可以想象,如果 \(h\) 越来越小,那么 \(P, Q\) 两点就越来越靠近,直到 \(h\to{0}\) ,则 \(Q\) 点会无限接近于 \(P\) 点。此时,割线就逐渐演变为切线。
数列的极限#
数列极限定义
若 \(n\) 越来越大,以至于无穷大时,\(a_n\) 便跟着越来越靠近 \(L\) 。那么我们说,当 \(x\rightarrow\infty\) 时,\(a_n\rightarrow L\) 。若以极限式的写法,即为:
\[ > \lim_{x\rightarrow\infty}a_n=L > \]
当数列的趋势是越来越趋近一个定值时,我们说它的极限存在,则称这个数列是收敛的;否则,没有趋近一个定值,则极限不存在,则该数列是发散的。所谓发散,就是不收敛,有两种情况:
例如:\(a_n=(-1)^n\) ,数列的取值在 \(1\) 和 \(-1\) 两个数上更换,并不趋近一个定值;
趋近无穷大,即:\(\lim\limits_{x\to\infty}a_n=\infty\)
收敛极限的基本性质
若 \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\alpha,\lim\limits_{n\to\infty}b_n=\beta\) ,及 \(c\in\mathbb{R}\) ,则:
相加:\(\lim\limits_{n\to\infty}(a_n\pm b_n)=\lim\limits_{n\to\infty}a_n\pm\lim\limits_{n\to\infty}b_n=\alpha\pm\beta\)
常倍数:\(\lim\limits_{n\to\infty}c\cdot a_n=c\cdot\lim\limits_{n\to\infty}a_n=c\cdot\alpha\)
相乘:\(\lim\limits_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\lim\limits_{n\to\infty}a_n\cdot\lim\limits_{n\to\infty}b_n=\alpha\cdot\beta\)
相除:\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}a_n}{\lim\limits_{n\to\infty}b_n}=\frac{\alpha}{\beta},(\beta\ne0)\)
夹逼(挤)定理
若数列 \(<a_n>,<b_n>,<c_n>\) 在 \(n\ge k\) (\(k\) 为某正整数)时,恒满足:
\[ > a_n\le b_n\le c_n > \]且
\[ > \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}c_n=L > \]则有:
\[ > \lim_{n\to\infty}b_n=L > \]
举例:
求极限 \(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n!}{n^n}\)
解:
\[ \frac{n!}{n^n}=\frac{1}{n}\times\frac{2}{n}\times\frac{3}{n}\times\cdots\times\frac{n-1}{n}\times\frac{n}{n} \]显然,展开式的每一项都小于 1,大于 0,故:
\[ 0\le\frac{1}{n}\times\frac{2}{n}\times\frac{3}{n}\times\cdots\times\frac{n-1}{n}\times\frac{n}{n}\le\frac{1}{n} \]由于 \(\lim\limits_{n\to\infty}0=0=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\)
由“夹逼定理”得:\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n!}{n^n}=0\)
求极限 \(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sin(n)}{n}\)
解:
\[\begin{split} \begin{aligned} &-1\le\sin(n)\le1\Rightarrow-\frac{1}{n}\le\frac{\sin(n)}{n}\le\frac{1}{n} \\&\text{lim}_{n\to\infty}-\frac{1}{n}=0=\text{lim}_{n\to\infty}\frac{1}{n} \\&\text{lim}_{n\to\infty}\frac{\sin(n)}{n}=0 \end{aligned} \end{split}\]求极限 \(\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\right)\)
解:
\[ \frac{1}{\sqrt{n^2+n}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\le\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\le\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+1}} \]因为:
\[\begin{split} \begin{aligned} &\text{lim}_{n\to\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\right)=\text{lim}_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}=1 \\&\text{lim}_{n\to\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}\right)=\text{lim}_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}=1 \end{aligned} \end{split}\]故:
\[ \text{lim}_{n\to\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\right)=1 \]注意:无穷多个无穷小项之和,不一定就是无穷小。
函数的极限#
极限的符号为 \(\lim\) ,它出自拉丁文limit(界限)的前三个字母。德国人浏伊连(S. L’Huilier)在1786年出版的书中,首次使用这个符号。不过,当时把“ \(x\) 趋于 \(a\) ”记作了“\(x=a\)”,直到20世纪人们才逐渐用“ \(\to\) ”替代“ \(=\) ”。英国近代数学家哈代是第一个使用现代极限符号的人。
定理1:极限运算法则#
设 \(L,M, c, k\) 为实数,并且函数 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 的极限分为别:
则:
加法:\(\lim\limits_{x\to{c}}(f(x)+g(x))=L+M\)
减法:\(\lim\limits_{x\to{c}}(f(x)-g(x))=L-M\)
数量乘法:\(\lim\limits_{x\to{c}}(k\cdot{f(x)})=k\cdot{L}\)
乘法:\(\lim\limits_{x\to{c}}(f(x)\cdot{g(x)})=L\cdot{M}\)
商:\(\lim\limits_{x\to{c}}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M},M\ne{0}\)
指数:\(\lim\limits_{x\to{c}}[f(x)]^n=L^n, n是正整数\)
开方:\(\lim\limits_{x\to{c}}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{L}=L^{1/n}\)
定理2:多项式的极限#
设多项式 \(P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0\) ,则其极限:
定理3:多项式商的极限#
设 \(P(x)\) 和 \(Q(x)\) 分别是两个多项式,且 \(Q(c)\ne{0}\) ,则:
定理4:三明治定理#
也称为夹逼定理。是一种计算极限的方法。
设 \(x\) 的区间内,\(g(x)\le{f(x)}\le{h(x)}\) ,并且常数 \(c\) 也在此区间内,若:
则:\(\lim\limits_{x\to{c}}f(x)=L\)
例:(1)\(\lim\limits_{x\to0}\sin\theta=0\) (2)\(\lim\limits_{x\to0}\cos\theta=1\)
证明
(1)在上一节得到了结论:\(-|\theta|\le\sin\theta\le|\theta|\) ,因为 \(\lim\limits_{\theta\to0}(-|\theta|)=\lim\limits_{\theta\to0}(|\theta|)=0\) ,根据三明治定理,所以:
(2)因为 \(0\le{1-\cos\theta}\le|\theta|\) ,所以 \(\lim\limits_{\theta\to0}(1-\cos\theta)=0\) ,则:
极限定义#
设函数 \(f(x)\) ,对于任何数 \(\epsilon\gt{0}\) ,存在一个数 \(\delta\gt{0}\) ,当 \(0\lt|x-c|\lt\delta\) 时,下式成立:
则:\(\lim\limits_{x\to{c}}f(x)=L\) ,即:函数 \(f(x)\) 在 \(x\) 趋近于 \(c\) 时的极限是 \(L\) 。
例题#
已知 \(\lim\limits_{x\to{c}}f(x)=L, \lim\limits_{x\to{c}}g(x)=M\) ,求证 \(\lim\limits_{x\to{c}}(f(x)+g(x))=L+M\)
证明
因为:
又因为 \(\lim\limits_{x\to{c}}f(x)=L\) ,则存在 \(\delta_1\gt{0}\) ,对 \(\epsilon\gt{0}\) ,当 \(0\lt|x-c|\lt\delta_1\) 时,下式成立:
同理,存在存在 \(\delta_2\gt{0}\) ,对 \(\epsilon\gt{0}\) ,当 \(0\lt|x-c|\lt\delta_2\) 时,下式成立:
令 \(\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}\) ,如果 \(0\lt|x-c|\lt\delta\) ,则 \(|x-c|\lt\delta_1\) ,故 \(|f(x)-L|\lt\frac{\epsilon}{2}\) 成立;同样,在此条件下,也有 \(|x-c|\lt\delta_2\) ,故 \(|g(x)-M|\lt\frac{\epsilon}{2}\) 成立。
所以:\(|f(x)+g(x)-(L+M)|\lt\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon\)
即:\(\lim\limits_{x\to{c}}(f(x)+g(x))=L+M\) 成立。
证毕。
左极限和右极限#
设函数 \(f\) ,有 \(x\to{c}\) 时其极限为 \(L\) 。通常,不论是 \(x\) 从 \(c\) 的左侧,还是右侧趋近于 \(c\) ,都能得到 \(f(x)\) 的值 \(L\) 。我们称这种极限为双侧极限。
在有的情况下,从不同方向趋近 \(c\) 所得极限不同,这样的称为单侧极限,如果从左边趋近,即为左极限;从右边趋近,即为右极限。例如下图所示函数 \(f(x)=\frac{x}{|x|}\) ,如果 \(x\) 从 \(0\) 的右侧趋近于 \(0\) (记作:\(x\to{0}^+\) ),则极限为 \(1\) ;从左侧趋近于 \(0\) (记作:\(x\to{0}^-\) ),则极限为 \(-1\) 。
更一般表示:
左极限:\(\lim\limits_{x\to{c}^-}f(x)=M\)
右极限:\(\lim\limits_{x\to{c}^+}f(x)=L\)
双侧极限:\(\lim\limits_{x\to{c}}f(x)=L\quad\Leftrightarrow\quad \lim\limits_{x\to{c}^-}f(x)=L \quad{and}\quad \lim\limits_{x\to{c}^+}f(x)=L\)
证明:\((\sin\theta)/\theta\) 的极限#
函数 \(f(\theta)=\frac{\sin\theta}{\theta},(\theta\ne{0})\) 的图像如下图所示:
求证 当 \(\theta\to{0}\) 时,\(\lim\limits_{\theta\to{0}}\frac{\sin\theta}{\theta} =1\)
其中 \(\theta\) 以弧度为单位。
证明
首先证明右极限是 \(1\) 。如下图所示,设 \(\theta\lt\frac{\pi}{2}\) ,\(OA=1\) ,易知:
\(\Delta{OAP}的面积\lt扇形OAP的面积\lt\Delta{OAT}的面积\)
又因为:
所以:
因为 \(0\lt\theta\frac{\pi}{2}\) ,所以 \(\sin\theta\gt{0}\) ,上式各项除以 \(\frac{1}{2}\sin\theta\) ,得:
即:
因为 \(\lim\limits_{\theta\to{0}}\cos\theta=1\) ,所以 \(\lim\limits_{\theta\to{0}^+}\cos\theta=1\) ,结合上式,根据三明治定理,可得:
再证明左极限也是 \(1\) 。
因为 \(\sin\theta\) 和 \(\theta\) 都是奇函数,所以 \(f(\theta)=\frac{\sin\theta}{\theta}\) 是偶函数,则它的图像关于 \(y\) 轴对称。于是其左极限与右极限对称,故:
所以:\(\lim\limits_{\theta\to{0}}\frac{\sin\theta}{\theta}=1\) 。
证毕。
连续#
定义 设 \(c\) 为实数,并且在函数 \(f\) 定义域内,
如果 \(\lim\limits_{x\to{c}}f(x)=f(c)\) ,则函数 \(f\) 在 \(c\) 连续;
如果 \(\lim\limits_{x\to{c}^+}f(x)=f(c)\) ,则函数 \(f\) 在 \(c\) 右连续;
如果 \(\lim\limits_{x\to{c}^-}f(x)=f(c)\) ,则函数 \(f\) 在 \(c\) 左连续。
连续性检验#
函数 \(f(x)\) 在 \(x=c\) 点连续,当且仅当满足如下三个条件:
\(f(c)\) 存在( \(c\) 在 \(f\) 的定义域内)
\(\lim\limits_{x\to{c}}f(x)\) 存在(当 \(x\to{c}\) 时 \(f\) 有极限)
\(\lim\limits_{x\to{c}}f(x)=f(c)\) (极限等于函数值 \(f(c)\) )
连续函数#
所谓连续函数,即在函数定义域上每个点都连续的函数。
如果函数 \(f\) 和 \(g\) 在 \(x=c\) 上连续,它们在此遵循如下运算规则:
加法:\(f+g\)
减法:\(f-g\)
数乘:\(k\cdot{f}\) ,\(k\) 是任意一个数
乘积:\(f\cdot{g}\)
相除:\(\frac{f}{g},g\ne{0}\)
幂运算:\(f^n\) ,\(n\) 是正整数
开方:\(\sqrt[n]{f}\)
如果 \(f\) 在 \(c\) 连续,且 \(g\) 在 \(f(c)\) 连续,则复合函数 \(g\circ{f}\) 在 \(c\) 也连续。
如果 \(\lim\limits_{x\to{c}}f(x)=b\) ,且 \(g\) 在 \(b\) 点连续,则 \(\lim\limits_{x\to{c}}g(f(x))=g(b)\)
如果函数 \(f\) 在闭区间 \([a, b]\) 连续,又若 \(y_0\) 在 \(f(a)\) 和 \(f(b)\) 之间,则存在 \([a, b]\) 内的数 \(c\) ,使 \(y_0=f(c)\) 成立(如下图所示)。
中值定理#
定理 如果函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续,并且 \(f(a)\ne{f(b)}\) ,那么,对于在 \(f(a)\) 与 \(f(b)\) 之间的任意实数 \(\mu\) ,存在使得
成立的实数 \(c\) 。
证明 因为 \(f(a)\lt{f(b)}\) 或 \(f(a)\gt{f(b)}\) ,所以下面仅就 \(f(a)\lt{f(b)}\) 情况进行证明。
此时:\(f(a)\lt\mu\lt{f(b)}\) 。
设 \(S\) 是满足 \(f(x)\lt\mu, a\le{x}\lt{b}\) 的实数 \(x\) 的全体集合。
设 \(S\) 的上确界为 \(c\) ,如果 \(c\notin S\) ,则存在收敛于 \(c\) 的数列 \(\{x_n\}, x_n\in S\) ,因此 \(f(c)=\lim\limits_{x\to\infty}f(x_n)\le\mu\) ,从而 \(c\in S\) 且 \(f(c)\le\mu\) 。这里若假设 \(f(c)\lt\mu\) ,因为 \(f(x)\) 是连续函数,所以满足条件 \(|x-c|\lt\delta, f(x)\lt\mu\) 的正实数 \(\delta\) 一定存在。因此,如果 \(c\lt x\lt c+\delta\) ,则 \(x\in S\) 。这与 \(c\) 是 \(S\) 的上确界矛盾。
所以 \(f(c)=\mu\) 。
证毕。
趋近无穷的极限#
无穷 \(\infty\) 不是一个实数。函数定义域或值域中的值超过有限范围的时候,我们会用 \(\infty\) 描述该函数的变化。
定义
对任意数 \(\epsilon\gt{0}\) ,有相应的数 \(M\) ,使得函数 \(f\) 对于定义域内的 \(x\) ,当 \(x\gt{M}\) 时,有:\(|f(x)-L|\lt\epsilon\)
则 \(x\) 趋近无穷时 \(f(x)\) 的极限是 \(L\) ,记作:\(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=L\)
对任意数 \(\epsilon\gt{0}\) ,有相应的数 \(N\) ,使得函数 \(f\) 对于定义域内的 \(x\) ,当 \(x\gt{N}\) 时,有:\(|f(x)-L|\lt\epsilon\)
则 \(x\) 趋近负无穷时 \(f(x)\) 的极限是 \(L\) ,记作:\(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=L\)
函数的极值#
微分学\(^{[3]}\)的一个重要应用,就是求极值。
费马极值定理
\(a\) 为函数 \(f(x)\) 定义域中的一点,若函数 \(f(x)\) 在 \(x=a\) 处取得极值,并且在 \(x=a\) 处可导,则必有 \(f'(a)=0\)
参考文献#
Thomas Calculus(fourteenth edition). George B. Thomas, Joel R. Hass, Christopher Heil, Maurice D. Weir . Pearson Education, Inc.
普林斯顿微积分读本. 阿德里安·班纳著,杨爽等译. 北京:人民邮电出版社,2016.10
导数